Как умножить числа с одинаковыми степенями. Степень и ее свойства. Определение степени. Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Основные свойства степеней

"Свойства степеней" - довольно популярный запрос в поисковых системах, что показывает большой интерес к свойствам степени. Мы собрали для вас все свойства степени (свойства степени с натуральным показателем, свойства степени с рациональным показателем, свойства степени с целым показателем) в одном месте. Вы можете скачать краткую версию шпаргалки "Свойства степеней" в формате.pdf, чтобы при необходимости легко их вспомнить, или ознакомиться со свойствами степеней прямо на сайте. Более подробно свойства степеней с примерами рассмотрены ниже.

Скачать шпаргалку "Свойства степеней" (формат. pdf )

Свойства степеней (кратко)

a 0=1, если a ≠0

a 1=a

(−a )n =an , если n - четное

(−a )n =−an , если n - нечетное

(a ⋅b )n =an ⋅bn

(ab )n =anbn

a −n =1an

(ab )−n =(ba )n

an ⋅am =an +m

anam =an −m

(an )m =an ⋅m

Свойства степеней (с примерами)

1-е свойство степени Любое число отличное от нуля в нулевой степени равно единице. a 0=1, если a ≠0 Например: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1

2-е свойство степени Любое число в первой степени равно самому числу. a 1=a Например: 231=23, (−9,3)1=−9,3

3-е свойство степени Любое число в четной степени положительно. an =an , если n - четное (делящееся на 2) целое число (−a )n =an , если n - четное (делящееся на 2) целое число Например: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1

4-е свойство степени Любое число в нечетной степени сохраняет свой знак. an =an , если n - нечетное (не делящееся на 2) целое число (−a )n =−an , если n - нечетное (не делящееся на 2) целое число Например: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1

5-е свойство степени Произведение чисел, возведенное в степень, можно представить как произведение чисел возведенных в эту степень (и наоборот). (a ⋅b )n =an ⋅bn , при этом a , b , n Например: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5

6-е свойство степени Частное (деление) чисел, возведенное в степень, можно представить как частное чисел возведенных в эту степень (и наоборот). (ab )n =anbn , при этом a , b , n - любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1

7-е свойство степени Любое число в отрицательной степени равно обратному числу в этой степени. (Обратное число это число на которое нужно умножить данное число, чтобы получить единицу.) a −n =1an , при этом a и n - любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: 7−2=172=149

8-е свойство степени Любая дробь в отрицательной степени равна обратной дроби в этой степени. (ab )−n =(ba )n , при этом a , b , n - любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64

9-е свойство степени При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются, а основание остается прежним. an ⋅am =an +m , при этом a , n , m - любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: 23⋅25=23+5=28, обратите внимание, что это свойство степени сохраняется и для отрицательных значений степеней 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+(−3)=47−3=44

10-е свойство степени При делении степеней с одинаковым основанием показатели степени вычитаются, а основание остается прежним. anam =an −m , при этом a , n , m - любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: (1,4)2(1,4)3=1,42+3=1,45, обратите внимание, как применяется это свойство степени к отрицательным значения степеней3−236=3−2−6=3−8, 474−3=47−(−3)=47+3=410

11-е свойство степени При возведении степени в степень степени перемножаются. (an )m =an ⋅m Например: (23)2=23⋅2=26=64

Таблица степеней до 10

Мало кому удается запомнить всю таблицу степеней, да и кому это нужно когда ее так легко найти? Наша таблица степеней включает в себя как популярные таблицы квадратов и кубов (от 1 до 10), так и таблицы других степеней, которые встречаются реже. В столбцах таблицы степеней указываются основания степени (число, которое нужно возвести в степень), в строках – показатели степени (степень, в которую нужно возвести число), на пересечении нужного столбца и нужной строки находится результат возведения нужного числа в заданную степень. Существуют несколько типов задач, решаемых с помощью таблицы степеней. Прямая задача – это вычислить n -ю степень числа. Обратная задача, которая так же может быть решена с помощью таблицы степеней, может звучать так: "в какую степень нужно возвести число a , чтобы получить число b ?" или "Какое число в степени n дает число b ?".

Таблица степеней до 10

1 n	2 n	3 n	4 n	5 n	6 n	7 n	8 n	9 n	10 n

Как пользоваться таблицей степеней

Рассмотрим несколько примеров использования таблицы степеней.

Пример 1. Какое число получится в результате возведения числа 6 в 8 степень? В таблице степеней ищем столбец 6n , так как по условию задачи число 6 возводится в степень. Затем в таблице степеней ищем строку 8, так как заданное число необходимо возвести в степень 8. На пересечении смотрим ответ: 1679616.

Пример 2. В какую степень нужно возвести число 9, чтобы получить 729? В таблице степеней ищем колонку 9n и спускаемся по ней вниз до числа 729 (третья строчка нашей таблицы степеней). Номер строчки и есть искомая степень, то есть ответ: 3.

Пример 3. Какое число нужно возвести в степень 7, чтобы получить 2187? В таблице степеней ищем строку 7, затем двигаемся по ней вправо до числа 2187. От найденного числа поднимаемся вверх и узнаем, что заголовок этого столбца 3n , что означает, что ответ: 3.

Пример 4. В какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 63? В таблице степеней находим столбец 2n и спускаемся по нему до тех пор, пока не встретим 63... Но этого не произойдет. Число 63 мы никогда не встретим ни в этом столбце, ни в любом другом столбце таблицы степеней, а это означает, что никакое целое число от 1 до 10 не дает число 63 при возведении в целую степень от 1 до 10. Таким образом, ответа нет.

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1
Произведение степеней

Запомните!

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

Упростить выражение.
b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
Представить в виде степени.
6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
Представить в виде степени.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Важно!

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

Свойство № 2
Частное степеней

Запомните!

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

= 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44

Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Ответ: t = 3 4 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

Пример. Упростить выражение.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
= = = 2 9 + 2
2 5
= 2 11
2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 64
Важно!
Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

Будьте внимательны!

Свойство № 3
Возведение степени в степень

Запомните!
При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.
(a n) m = a n · m , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.

Свойства 4
Степень произведения

Запомните!
При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.
(a · b) n = a n · b n , где «a », «b » — любые рациональные числа; «n » — любое натуральное число.
- Пример 1.
  (6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
- Пример 2.
  (−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6
Важно!
Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.
(a n · b n)= (a · b) n
То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
- Пример. Вычислить.
  2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
- Пример. Вычислить.
  0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

Пример возведения в степень десятичной дроби.
4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4
Свойства 5
Степень частного (дроби)

Запомните!
Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
(a: b) n = a n: b n , где «a », «b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.
- Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Основная цель

Ознакомить учащихся со свойствами степеней с натуральными показателями и научить выполнять действия со степенями.

Тема “ Степень и её свойства ” включает три вопроса:

Определение степени с натуральным показателем.
Умножение и деление степеней.
Возведение в степень произведения и степени.

Контрольные вопросы

Сформулируйте определение степени с натуральным показателем, большим 1. Приведите пример.
Сформулируйте определение степени с показателем 1. Приведите пример.
Каков порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, содержащего степени?
Сформулируйте основное свойство степени. Приведите пример.
Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Приведите пример.
Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Приведите пример.
Сформулируйте правило возведения в степень произведения. Приведите пример. Докажите тождество (ab) n = a n b n .
Сформулируйте правило возведения степени в степень. Приведите пример. Докажите тождество (а m) n = а m n .

Определение степени.

Степенью числа a с натуральным показателем n , большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а . Степенью числа а с показателем 1 называется само число а .

Степень с основанием а и показателем n записывается так: а n . Читается “ а в степени n ”; “ n- я степень числа а ”.

По определению степени:

а 4 = а а а а

. . . . . . . . . . . .

Нахождение значения степени называют возведением в степень .

1. Примеры возведения в степень:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Найти значения выражений:

а) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

б) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Вариант 1

а) 0,3 0,3 0,3

в) b b b b b b b

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Представьте в виде квадрата числа:

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

в) -1 4 + (-2) 3

г) -4 3 + (-3) 2

д) 100 - 5 2 4

Умножение степеней.

Для любого числа а и произвольных чисел m и n выполняется:

a m a n = a m + n .

Доказательство:

Правило : При умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

а) х 5 х 4 = х 5 + 4 = х 9

б) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

в) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

г) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

д) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

а) 2 3 2 = 2 4 = 16

б) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Вариант 1

1. Представить в виде степени:

а) х 3 х 4 е) х 2 х 3 х 4

б) а 6 а 2 ж) 3 3 9

в) у 4 у з) 7 4 49

г) а а 8 и) 16 2 7

д) 2 3 2 4 к) 0,3 3 0,09

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 2 2 2 3 в) 8 2 5

б) 3 4 3 2 г) 27 243

Деление степеней.

Для любого числа а0 и произвольных натуральных чисел m и n, таких, что m>n выполняется:

a m: a n = a m - n

Доказательство:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

по определению частного:

a m: a n = a m - n .

Правило : При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Определение: Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице :

т.к. а n: a n = 1 при а0 .

а) х 4:х 2 = х 4 - 2 = х 2

б) у 8:у 3 = у 8 - 3 = у 5

в) а 7:а = а 7:а 1 = а 7 - 1 = а 6

г) с 5:с 0 = с 5:1 = с 5

а) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

б) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

в)

г)

д)

Вариант 1

1. Представьте в виде степени частное:

2. Найдите значения выражений:

Возведение в степень произведения.

Для любых а и b и произвольного натурального числа n:

(ab) n = a n b n

Доказательство:

По определению степени

(ab) n =

Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим:

Доказанное свойство степени произведения распространяется на степень произведения трех и более множителей.

Например:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

Правило : При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают.

1. Возвести в степень:

а) (a b) 4 = a 4 b 4

б) (2 х у) 3 =2 3 х 3 у 3 = 8 х 3 у 3

в) (3 а) 4 = 3 4 а 4 = 81 а 4

г) (-5 у) 3 = (-5) 3 у 3 = -125 у 3

д) (-0,2 х у) 2 = (-0,2) 2 х 2 у 2 = 0,04 х 2 у 2

е) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Найти значение выражения:

а) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

б) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

в) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

г) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

д)

Вариант 1

1. Возвести в степень:

б) (2 а с) 4

д) (-0,1 х у) 3

2. Найти значение выражения:

б) (5 7 20) 2

Возведение в степень степени.

Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n:

(а m) n = а m n

Доказательство:

По определению степени

(а m) n =

Правило: При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают .

1. Возвести в степень:

(а 3) 2 = а 6 (х 5) 4 = х 20

(у 5) 2 = у 10 (b 3) 3 = b 9

2. Упростите выражения:

а) а 3 (а 2) 5 = а 3 а 10 = а 13

б) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13

в) (х 3) 2 (х 2) 4 = х 6 х 8 = х 14

г) (у у 7) 3 = (у 8) 3 = у 24

а)

б)

Вариант 1

1. Возвести в степень:

а) (а 4) 2 б) (х 4) 5

в) (у 3) 2 г) (b 4) 4

2. Упростите выражения:

а) а 4 (а 3) 2

б) (b 4) 3 b 5+

в) (х 2) 4 (х 4) 3

г) (у у 9) 2

3. Найдите значение выражений:

Приложение

Определение степени.

Вариант 2

1ю Запишите произведение в виде степени:

а) 0,4 0,4 0,4

в) а а а а а а а а

г) (-у) (-у) (-у) (-у)

д) (bс) (bс) (bс)

2. Представьте в виде квадрата числа:

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

в) -1 3 + (-2) 4

г) -6 2 + (-3) 2

д) 4 5 2 – 100

Вариант 3

1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,5 0,5 0,5

в) с с с с с с с с с

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Представьте в виде квадрата числа: 100 ; 0,49 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

в) -1 5 + (-3) 2

г) -5 3 + (-4) 2

д) 5 4 2 - 100

Вариант 4

1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,7 0,7 0,7

в) х х х х х х

г) (-а) (-а) (-а)

д) (bс) (bс) (bс) (bc)

2. Представьте в виде квадрата числа:

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

в) -1 4 + (-3) 3

г) -3 4 + (-5) 2

д) 100 - 3 2 5

Умножение степеней.

Вариант 2

1. Представить в виде степени:

а) х 4 x 5 е) х 3 х 4 х 5

б) а 7 а 3 ж) 2 3 4

в) у 5 у з) 4 3 16

г) а а 7 и) 4 2 5

д) 2 2 2 5 к) 0,2 3 0,04

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 3 2 3 3 в) 16 2 3

б) 2 4 2 5 г) 9 81

Вариант 3

1. Представить в виде степени:

а) а 3 а 5 е) у 2 у 4 у 6

б) х 4 х 7 ж) 3 5 9

в) b 6 b з) 5 3 25

г) у у 8 и) 49 7 4

д) 2 3 2 6 к) 0,3 4 0,27

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 3 3 3 4 в) 27 3 4

б) 2 4 2 6 г) 16 64

Вариант 4

1. Представить в виде степени:

а) а 6 а 2 е) х 4 х х 6

б) х 7 х 8 ж) 3 4 27

в) у 6 у з) 4 3 16

г) х х 10 и) 36 6 3

д) 2 4 2 5 к) 0,2 2 0,008

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 2 6 2 3 в) 64 2 4

б) 3 5 3 2 г) 81 27

Деление степеней.

Вариант 2

1. Представьте в виде степени частное:

2. Найдите значения выражений:

Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

Операции со степенями.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются :

a m · a n = a m + n .

2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

( abc … ) n = a n · b n · c n …

4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

( a / b ) n = a n / b n .

5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

(a m ) n = a m n .

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

Т еперь формула a m : a n = a m - n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

П р и м е р . a 4 : a 7 = a 4 - 7 = a - 3 .

Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m - n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений. любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.

Случай 3.

0 0 - любое число.

Действительно,

Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению

(Почему?).

2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

что x – любое число; но принимая во внимание, что в

Нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

3) при x < 0 получаем: – x / x = 1, т. e . –1 = 1, следовательно,

В этом случае нет решения.

Таким образом, x > 0.

Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие - нет? Как число умножить на степень?

В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

1) если степени имеют одинаковые основания;

2) если степени имеют одинаковые показатели.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели - сложить:

При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней - учитывают:

При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом - умножение:

www.algebraclass.ru

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Сложение и вычитание степеней

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Или:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, a n .a m = a m+n .

Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
Ответ: x 4 — y 4 .
Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .

1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
(a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
(a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac $. Но это равно a 2 . В ряде чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. .

Так, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac = a^n$.

Или:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.
Результат деления a -5 на a -3 , равен a -2 .
Также, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

Свойства степени

Свойство № 1
Произведение степеней

a m · a n = a m + n , где « a » - любое число, а « m », « n » - любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

Упростить выражение.
b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Представить в виде степени.
6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17

Представить в виде степени.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

Свойство № 2
Частное степеней

Записать частное в виде степени
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Вычислить.

11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8: t = 3 4

Ответ: t = 3 4 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

Свойство № 3
Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

(a n) m = a n · m , где « a » - любое число, а « m », « n » - любые натуральные числа.

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

(a n · b n)= (a · b) n

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

Пример. Вычислить.
2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000

Пример. Вычислить.
0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

Пример возведения в степень десятичной дроби.

4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

Свойства 5
Степень частного (дроби)

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a: b) n = a n: b n , где « a », « b » - любые рациональные числа, b ≠ 0, n - любое натуральное число.

Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Степени и корни

Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

Операции со степенями.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m · a n = a m + n .

2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

(a / b ) n = a n / b n .

5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

П р и м е р. a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m — n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

где a ≠ 0 , не существует.

В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x , т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

— любое число.

0 0 — любое число.

Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению

2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

что x – любое число; но принимая во внимание, что в

нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

Правила умножения степеней с разным основанием

СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

§ 69. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Теорема 1. Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, достаточно показатели степеней сложить, а основание оставить прежним , то есть

Доказательство. По определению степени

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Мы рассмотрели произведение двух степеней. На самом же деле доказанное свойство верно для любого числа степеней с одинаковыми основаниями.

Теорема 2. Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, когда показатель делимого больше показателя делителя, достаточно из показателя делимого вычесть показатель делителя, а основание оставить прежним, то есть при т > п

(a =/= 0)

Доказательство. Напомним, что частным от деления одного числа на другое называется число, которое при умножении на делитель дает делимое. Поэтому доказать формулу , где a =/= 0, это все равно, что доказать формулу

Если т > п , то число т - п будет натуральным; следовательно, по теореме 1

Теорема 2 доказана.

Следует обратить внимание на то, что формула

доказана нами лишь в предположении, что т > п . Поэтому из доказанного пока нельзя делать, например, таких выводов: